【炉火纯青】无理型函数求值域的三大解法------最后一种竟然用的是“构造向量”，简直太出彩了！！！

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距高考还有117天

根式的处理方法

“有根号的要去根号”，所以我们首先要知道去根号的方法主要有哪些。

我认为，按照初中根式的相关知识，课本当中介绍的去根号主要有两种办法：乘方和配方。

也就是下面的这两个公式了。

分析

如果要用配方法去根号，根式下必须为二次式。本题根式下都是一次式，要想去根号可以考虑两种方式：一是根式下代数式进行升幂，由一次变为二次；二是直接将等式两边平方。

三角换元

三角函数有界性应用

其实，只要函数的定义域是有界的，我们都可以利用三角函数的有界性去进行三角换元，同时利用二倍角公式的特点进行升幂，从而达到将一次式变为二次式的目的。比如：3<x<7，可令x=5+2cosα（其中-π<α<π）

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显然，等式两边平方后，如果这两项的平方和不能消去x，接下来的处理将会是一个巨大的工程，远比原题本身要复杂。

通过双换元，引入两个变量，将函数值域问题转化为线性规划问题，从而通过方程的几何意义进行处理，也是一种可取的办法。

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看来，双换元也是处理这种题型的万能办法！

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看来，构造向量法也应该具备一般性了。

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